TRANSFORMADA DE LAPLACE

May 3, 2022

Apunte

Estos apuntes fueron basados en la clase del Prof. Arthur Mattuck (1930-2021), especialista en geometría algebraica en el Massachusetts Institute of Technology. [1]

Introducción

Existen muchos misterios en torno a la transformada de Laplace que la gente se pregunta. Es bueno hacernos ideas de dónde vienen las cosas.

¿De dónde viene?

Una buena forma de comenzar a entenderla es con series de potencias:

\sum_{0}^\infty a_n x^n

Para identificar la suma con los coeficientes:

\sum_{0}^\infty a_n x^n = A(x)

Usando notación de computadora, se piensa como la función de la variable discreta. En otras palabras, es una función que asigna a $n=0,1,2,3,\ldots$ :

\sum_{0}^\infty a(n) x^n = A(x)

Esto sigue significando que el número real $n$ sigue asociado.

Tomamos la función discreta que nos da la secuencia de coeficientes de la serie de potencias y la asociamos con la suma de la serie de potencias:

a(n) {\color{magenta}\rightsquigarrow} A(x)

Suponiendo que se tiene la función constante 1:

1 {\color{magenta}\rightsquigarrow} A(x)

Al reemplazar en la serie, se tiene algo así:

\sum_{0}^\infty a(n) x^n = 1^0 + 1^1 + 1^2 + 1^3 + \ldots

¿Sabes cuál es el resultado?

1 {\color{magenta}\rightsquigarrow} \frac{1}{1-x}

Pero esto no es cierto para todo $x$ . Solo es cierto cuando $x$ es tal que esa serie converge. Eso solo es cierto cuando $x$ se encuentra entre -1 y 1:

1 {\color{magenta}\rightsquigarrow} \frac{1}{1-x} \quad : \quad |x| < 1

¿A qué converge? Si $x$ es mayor que uno, la respuesta es que no converge.

Ahora, para este factorial:

\frac{1}{n!} {\color{magenta}\rightsquigarrow} e^x

De este peculiar punto de vista, podemos pensar en una potencia como la suma de la operación en la suma de una serie de potencias, tomando una función discreta definida para enteros positivos o enteros no negativos y haciendo este divertido proceso. Y de ahí surge una función continua de algún tipo.

Observe que lo que entra es la variable $n$ , pero lo que sale es la variable $x$ .

BUENO, ESO ES PERFECTAMENTE NATURAL.

Así es como se establece una serie de potencias. La pregunta que hacemos es: esta es una situación discreta. Supongamos que hiciéramos la suma continua en lugar de discreta. Entonces quiero el análogo continuo de lo que hice allí.

¿Qué es el análogo continuo?

Reemplazaremos $n=0,1,2,\ldots$ , esto es una variable discreta, por una continua. Lo reemplazamos por una variable continua $t$ que va de 0 a infinito:

0 \leq t < \infty

Claramente se puede sumar de la forma habitual sobre todos los números reales, pero algo cambia. EL PROCESO PARA REEMPLAZAR LA SUMA SOBRE TODOS LOS NÚMEROS REALES ES LA INTEGRACIÓN:

\boxed{\;\int_{0}^\infty a(t) x^t dt = A(x)\;}

Al igual que antes, terminará como una función de $x$ . El problema es que cuando uno quiere integrar o derivar, no quiere tener como base de una exponencial a $x$ .

Entonces podemos transformar:

x = e^{\ln{x}} \\ x^t = (e^{\ln{x}})^t

Si reemplazáramos la integral por 1, no convergería. Por lo tanto, para que converja $x$ debe ser menor que 1. Esto para que mientras más crezca en $t$ , se volverá más pequeño.

Recordar que esta es una integral impropia, eso necesita un tratamiento. Si tuviéramos un negativo en $x$ , deberíamos considerar tratar con imaginarios:

\int_{0}^\infty a(t) x^t dt = A(x)

Entonces:

0 < x < 1

Además, deberíamos considerar los valores en:

x = e^{\ln{x}} \\ x^t = (e^{\ln{x}})^t

Para esos valores de $x$ , al reemplazar siempre tendremos valores negativos:

0 < x < 1 \quad \Rightarrow \quad \ln{x} < 0

Entonces, deberíamos hacerla negativa:

-s = \ln{x}

Reemplazando y considerando que los cambios fueron hechos por estética:

\int_{0}^\infty f(t) (e^{-s})^t dt = F(s)

\boxed{\int_{0}^\infty f(t) (e^{-s})^t dt = F(s)}

Esto no es más que el análogo continuo de una suma de series de potencias. Considerando que teníamos la versión discreta:

\boxed{\int_{0}^\infty a(t) x^t dt = A(x)}

Comienza por una función definida para valores positivos de $t$ y lo convierte en una función de $s$ . A esto se le llama:

TRANSFORMADA DE LAPLACE.

Uno de los principales problemas es que no se entiende bien porque terminamos con una función de $s$ si partimos con una función de $t$ .

Entonces es importante saber diferenciar entre una transformada y un operador:

\Large f(t) \longrightarrow \boxed{\color{green}~~\mathbf{TRANSFORMADA}~~} \longrightarrow \color{green}F(s)

\Large f(t) \longrightarrow \boxed{\color{magenta}~~~~~~~~~\mathbf{OPERADOR}~~~~~~~~~} \longrightarrow \color{magenta}g(t)

Esto es una transformación lineal.

Notación

{\Large \mathcal{L}} \qquad \lor \qquad {\Large\mathscr{L}}

Dos formas de expresarlo:

\large \begin{align} \mathscr{L}(\,f(t)\,) =& F(s) \\ f(t) {\color{magenta}\LARGE\rightsquigarrow} & F(s) \end{align}

Transformación lineal

\mathcal{L}(f+g) = F(s) + G(s) = \mathcal{L}(f) + \mathcal{L}(g) \\ \mathcal{L}(cf) = c \,\mathcal{L}(f)

En otras palabras, se está sumando ambas integrales. La integral en sí misma es un operador lineal.

0 \rightsquigarrow 0 \\ 1 \rightsquigarrow ?

\begin{split} \int_{0}^\infty e^{-st} dt &= \displaystyle\lim_{R \to \infty} \int_{0}^R e^{-st} dt \\ &= \displaystyle\lim_{R \to \infty} \int_{0}^R e^{-st} dt \\ &= \displaystyle\lim_{R \to \infty} \cfrac{e^{-st}}{-s} \Big|_{0}^R \\ &= \displaystyle\lim_{R \to \infty} \cfrac{e^{-sR}}{-s} \,-\, \cfrac{e^{-s(0)}}{-s} \\ &= \displaystyle\lim_{R \to \infty} \cfrac{{\color{red}\cancel{{\color{gray}e^{-sR}}}^{0}}-1}{-s} \\ &= \frac{1}{s} \end{split}

1 \rightsquigarrow \frac{1}{s}

¿Está bien?

La única forma en la que tiende a 0 es cuando $s$ es un número positivo, por lo tanto $s>0$ :

1 \rightsquigarrow \frac{1}{s} \quad : \quad s>0

e^{at} \rightsquigarrow ? \\

e^{at} f(t) \rightsquigarrow ?

\begin{split} \int_{0}^\infty e^{-at} f(t) \, e^{-st}\, dt &= \int_{0}^\infty f(t) \, e^{-(s-a)t} \, dt \\ &= F(s-a) \end{split}

e^{at} f(t) \rightsquigarrow F(s-a) \quad : \quad s > a \\ f(s), s > 0

\begin{split} \int_{0}^\infty e^{-at} f(t) \, e^{-st}\, dt &= \int_{0}^\infty f(t) \, e ^{-(s-a)t} \, dt \\ &= F(s-a) \quad : \quad s > a ~~\lor~~ s - a > 0 \end{split}

e^{at} f(t) \rightsquigarrow F(s-a) \quad : \quad s > a \\ \text{Asumiendo } F(s) \;:\; s > 0

Esto se puede llamar como fórmula de cambio de exponencial. Lo que puedes hacer con uno, lo puedes hacer con el otro. Teníamos que:

e^{at} f(t) \rightsquigarrow ?

Entonces:

1 \rightsquigarrow \frac{1}{s} \quad : \quad s > 0

e^{at} f(t) \rightsquigarrow F(s-a) \quad

e^{at} f(t) \rightsquigarrow \frac{1}{s-a} \quad : \quad s > a

Para seno y coseno, la fórmula funciona cuando $a$ es un número complejo:

e^{(\alpha+\beta i)t} \rightsquigarrow \frac{1}{s-(\alpha+\beta i)} \quad : \quad s > a

\sin{at} \rightsquigarrow ? \\ \cos{at} \rightsquigarrow ?

Podemos usar la fórmula de Euler al revés:

\cos{at} = \cfrac{e^{iat} + e^{-iat}}{2}

Simplemente es expresarla al revés, es decir, expresar cosenos y senos en términos de exponenciales complejos:

\mathscr{L}(\cos{at}) = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{s-ia} + \frac{1}{s+ia} \right)

El término a la izquierda es REAL, el de la derecha parece COMPLEJO, pero no lo es. Automáticamente podemos saber que no lo es. Se pueden combinar los términos y calcular. Existen dos métodos para ver que algo es real. Puedes calcularlo y ver que su parte imaginaria es 0, que es el truco que usamos anteriormente. La otra es sin cálculos:

Si cambias $i$ por $-i$ y obtienes lo mismo, debe ser real, es decir:

\frac{1}{2}\left( \frac{1}{s-ia} + \frac{1}{s+ia} \right) \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{2}\left( \frac{1}{s-(-i)a} + \frac{1}{s+(-i)a} \right)

Si calculamos:

\begin{split} \mathscr{L}(\cos{at}) &= \frac{1}{2}\left( \frac{1}{s-ia} + \frac{1}{s+ia} \right) \\ &= \frac{1}{2} \, \frac{2s}{s^2 + a^2} \end{split}

Entonces:

\cos{at} \rightsquigarrow \frac{s}{s^2 + a^2} \quad : \quad s > 0 \\

\sin{at} \rightsquigarrow \frac{a}{s^2 + a^2} \quad : \quad s > 0 \\

Lo difícil de todo esto es recuperar la inversa. Para la inversa de la transformada se podría pensar que existen tablas, pero si las tuviéramos, serían muy extensas y no sería muy útil.

Si tenemos:

\frac{1}{s(s+3)}~~~\overbrace{\rightsquigarrow}^{\mathscr{L}^{-1}}~~~ ?

Para calcular esta inversa debemos llevarla a algo conocido que esté en las tablas. Para ello se aplican descomposiciones de fracciones parciales.

Primero, cubro el término $1/s$ :

\frac{1}{s(s+3)} = \frac{1/3}{s} \cdot \frac{1}{s+3}

Ahora se cubre $s+3$ , y pongo $s = -3$ porque eso se debe hacer:

\frac{1}{s(s+3)} = \frac{1/3}{s} \cdot \frac{-1/3}{s+3}

Conclusión

La transformada de Laplace es una herramienta poderosa en matemáticas y física que permite convertir funciones del dominio del tiempo en funciones del dominio de la frecuencia, facilitando así la resolución de ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos. Entender su origen y propiedades, como la linealidad y las transformaciones de funciones exponenciales, es esencial para su aplicación efectiva. La descomposición en fracciones parciales es fundamental para encontrar las inversas de estas transformadas, lo que subraya la importancia de esta técnica en el análisis matemático y la ingeniería.

Referencia:

Introduction to the Laplace Transform; Basic Formulas.

[1] “MIT18_03S10_chapter_20.pdf | Differential Equations | Mathematics | MIT OpenCourseWare.” Accessed: Jul. 27, 2024. [Online]. Available: https://ocw.mit.edu/courses/18-03-differential-equations-spring-2010/resources/mit18_03s10_chapter_20/