¿QUÉ NECESITAMOS DEL CALCULO?

Apr 24, 2022

Apunte

Una introducción a EDOs

x^n \qquad \sin x \qquad \cos x \qquad \color{red}\underbrace{\;{\color{orange}e^x \qquad \ln x \;}}_{\text{Muy usadas!}}

f + g \qquad f(x)g(x) \qquad \cfrac{f(x)}{g(x)} \qquad {\color{orange}f(g(x)) \rightarrow \cfrac{df}{dg} \cfrac{dg}{dx}}

\cfrac{\partial}{\partial x}\;\int_0^{x}f(t)\;dt = f(x)

Si $F$ es definida por la integral (antiderivada o primitiva):

F(x)=\int_a^{x}f(t)

Entonces la identidad:

F'(x)=f(x)

Se cumple en cada punto en $I$ , donde $F'(x)$ es la derivada de $F(x)$ .

\cfrac{dy}{dx} \qquad \cfrac{dy}{dt} \qquad \cfrac{d^2y}{dt^2} \qquad \cfrac{d^3y}{dt^3} \qquad

y' \qquad y' \qquad y'' \qquad y''' \qquad

Dy \qquad Dy \qquad D^2y \qquad D^3y \qquad

\dot{y} \qquad \dot{y} \qquad \ddot{y} \qquad

M(x,y)+N(x,y)=0

Si tenemos:

y(t)= \int_{0}^{t} e^{t-s} g(s)ds

Para resolver:
$\cfrac{dy}{dt}=y+g(t)$
Se puede decir que:
$y(t)= \underbrace{e^t}_\text{funcion de t} \cdot \; \underbrace{\int_{0}^{t} e^{-s} g(s)ds}_\text{funcion de t}$
Con la regla del producto:
$\cfrac{dy}{dt}= e^t \int_{0}^{t} e^{-s} g(s)ds \; + \; e^t(e^{-t}g(t))$ $\cfrac{dy}{dt}= \underbrace{e^t \int_{0}^{t} e^{-s} g(s)ds}_\text{y} \; + \; \underbrace{\cancel{e^t}(\cancel{e^{-t}}g(t)) }_\text{g(t)}$
💡 Recordando
Regla del producto esta dada por: $(f\cdot g)'=f' \cdot g + f \cdot g'$
Lo mismo en notación de Lebniz: $\cfrac{d}{dx}(u \cdot v)= u \cfrac{du}{dx} \;+ \; v\cfrac{dv}{dx}$
${\Large\color{orange}\therefore} \quad \cfrac{dy}{dt}= e^t \int_{0}^{t} e^{-s} g(s)ds \; + \; g(t)) = y\;+\; g(t) \qquad \color{orange}\blacksquare$