S. Chavez 🛸
PRACTICANDO LO APRENDIDO

PRACTICANDO LO APRENDIDO


Apunte
EDO Homogenea Exacta Ejercicios

EDO de coeficientes homogéneos

En su forma estándar, se cumple cuando:

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 f(tx,ty)=f(x,y)∣t∈Rf(tx,ty)=f(x,y) \qquad | \qquad t\in \R KM=KN⇒u=yxoˊu=xyK_M=K_N \quad\Rightarrow\quad u=\cfrac{y}{x} \quad ó \quad u=\cfrac{x}{y}

EDO exacta

En su forma estándar, se cumple cuando:

∂M(x,y)∂y=∂N(x,y)∂x\cfrac{\partial M(x,y)}{\partial y}=\cfrac{\partial N(x,y)}{\partial x}

Si no se cumple, aplicar factor de integración:

u(x)=e[∫My−NxN(x,y)dx]∣u(y)=e[∫−(My−Nx)M(x,y)dy]\large u(x)= e^{\left[{\large\int}\frac{M_y-N_x}{N(x,y)}dx\right]} \qquad|\qquad u(y)=e^{\left[{\large\int}\frac{-(M_y-N_x)}{M(x,y)}dy\right]}

Ecuación lineal

Cuando f(x,y)f(x,y) puede ser escrita como:

f(x,y)=−p(x)y+q(x)f(x,y)=-p(x)y+q(x)

Entonces:

y′+p(x)y=q(x)y'+p(x)y=q(x)

Para solucionarla se usa el factor de integración:

u(x)=e[∫p(x) dx]\large u(x)=e^{\left[{\large\int}p(x)~dx\right]}

Ejercicios

  1. Resolver:

    y(8x−9y)dx+(2x2−6yx)dy=0\large y(8x-9y)dx+(2x^2-6yx)dy=0

    Usar 2 métodos.

Solución 🎁

  • Se usa EDO coeficientes homogéneos y EDO exacta para llegar al mismo resultado:

      3y2x3−2yx4=C  \boxed{~~3y^2x^3-2yx^4=C~~}

  • Representación gráfica:

  1. Resolver:

    (1+2xy)dydx=1+y2\large (1+2xy)\cfrac{dy}{dx}=1+y^2

    Considere yy como variable independiente.

Solución 🎁

  • Por factor de integración se llega a:

      x=1+y22[arctan⁡(y)+y1+y2]+C(1+y2)  \boxed{~~x=\frac{1+y^2}{2} \left[ \arctan{(y)}+\frac{y}{1+y^2} \right]+C(1+y^2)~~}

  • Representación grafica: