CLASIFICACIÓN DE EDO

Apr 25, 2022

Apunte

CLASIFICACIÓN DE EDO

Linealidad

Cuando $F$ es lineal tal que:

y,y',y'',y''',...,y^n

Orden

Una EDO es lineal de orden $n$ si tiene la forma

a_{\orange n} (x)y ^{(\orange n)} + a_{\orange{ n−1}} (x)y^{\orange{ (n−1)}} + ...+ a_{\orange{1}} (x)y{\orange{'}} + a_{\orange{0}} (x)y = F (x)

Tal que:

a_i(x) ∈ \R, \;∀i = 1, ...,n

EDO homogénea y no homogénea

La EDO lineal se dice homogénea, si:

F(x)=0

La EDO lineal se dice NO homogénea, si:

F (x) \not= 0

Solución de una EDO

Toda función $\phi$ , definida sobre un intervalo $I$ y que posea al menos $n$ derivadas continuas sobre $I$ , y que al ser sustituida en una ecuación diferencial ordinaria de $n$ -ésimo orden reduzca la ecuación a una identidad, se dice que es una solución de la ecuación sobre el intervalo.

F(x, \phi (x), \phi '(x), ..., \phi ^{n}(x)) = 0 \qquad \forall x \in I

Verificando una solución

ejm:

Compruebe que la función señalada representa una solución de la ecuación diferencial dada, sobre el intervalo $(-\infty, \infty)$ .

\frac{dy}{dx} = xy^{1/2} \qquad| \qquad y = \frac{x^4}{16}

Tomando izquierda:

\orange{\frac{dy}{dx}} = xy^{1/2} \qquad| \qquad y = \frac{x^4}{16}

\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{16} \cdot \orange4x^{4\orange{-1}}=\frac{x^3}{4}

Tomando derecha:

\frac{dy}{dx}= \orange{xy^{1/2}} \qquad| \qquad y = \frac{x^4}{16}

\Rightarrow xy^{1/2} = x\left(\frac{x^4}{16}\right)^{1/2}=\frac{x^3}{4}

$\orange\therefore \;$ Cada extremo de la ecuación es igual para todo número real $x$

Problemas de valor inicial (PVI)

Son de la forma:

En cierto intervalo $I$ que contiene a $x_0$

Piden resolver:

\frac{d^ny}{dx^n}=f(x,y,y',...,y^{n-1})

Sujeto a:

y(x_0)=y_0,y'(x_0)=y_1,...,y^{n-1}(x_0)=y_{n-1}

Tal que: $y_1,...,y^{n-1}$ son constantes $\in\R$

Existencia de una solución única

TEOREMA:

Sea $R$ como una región rectangular en el plano $xy$ definida por:

a \leq x \leq b \; , \; c \leq y \leq d

Que contiene al punto $(x_0,y_0)$

Si $f(x,y)$ y $\frac{\partial f}{\partial y}$ son continuas en $R$

Entonces existe cierto intervalo $I_0:x_0-h<x<x_0+h$ , $h>0$

Contenido en $a \leq x \leq b$ , y una función única $y(x)$ definida en $I_0$ que representa una solución del PVI.

Representación del área rectangular donde se encuentra el punto que representa una solución del PVI

Ejercicios

Se tiene:

y'-y=0

Solución 🎁

Entonces:

y'=y \qquad\Rightarrow\qquad \frac{dy}{dx}=y

\frac{dy}{y}=dx \qquad\Rightarrow\qquad \frac{1}{y}dy=dx

Integrando:

\int\frac{1}{y}dy=\int dx

Por regla de integración:

\ln{y}=x + C \quad | \quad C \in \R

Aplicando exponencial:

e^{\ln{y}}=e^{x + C}

y=e^{x} \cdot e^C

y=Ce^{x} \quad | \quad C>0

Se tiene:

\large y'+2y=0 \qquad | \qquad y=e^{-2x}

Solución 🎁

\large y'=e^{-2x} \cdot -2 \qquad \Rightarrow \qquad y'=-2e^{-2x}

\large y'+2y=0

\tag*{\color{forestgreen}\checkmark} \large{\color{orange}\therefore} \; (-2e^{-2x})+2(e^{-2x})=0 \qquad

$\therefore$ Se obtiene la solución particular